梦回17世纪：怎么确定自然常数e的上下界

$$2 < e < 3$$

自然常数e的起源

伯努利在研究复利计算时，考虑这样一个问题：本金 1 元，年利率 100%，如果一年内复利 n 次，到期本利和是多少？

到期本利和为 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$，令 $n \to \infty$，便得到：

$$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$

他发现随着 n 不断增大，这个式子的值会越来越大，但又不会无限膨胀——它似乎被某个神秘的数字压着，永远突破不了。 后来欧拉看到了这个常数，将它命名为 e，取自 exponential（指数）的首字母。

那么当时是怎么证明这个极限存在且有限的？在那个年代，数学家能用的工具其实很朴素：单调有界定理——只要能证明这个数列单调递增，同时又有一个上界压着，极限自然存在。

关键的难点在于：当 n 趋于无穷时，$\frac{1}{n}$​ 趋向于无穷小，式子里的每一项都在微妙地变化。数学家需要驯服这个无穷小，才能把上界算清楚。

幽灵般的无穷小

当我们对 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 用二项式定理展开：

$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

令 $a = 1$，$b = \frac{1}{n}$，得到：

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^k} $$

其中：

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} $$

所以每一项变成：

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) $$

取极限 $n \to \infty$ 时，每个因子中的 $\frac{1}{n}$ 趋向于无穷小：

$$ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \to 1 $$

如果我们选择像当时的物理学家或者凭借直觉去处理这个无穷小，我们会直接把无穷小看作是零。

然后直接约掉。上面的部分就会变成了1.那这样整个式子该多么简洁啊！

$$ \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} $$

但我们不能这样做！

牛顿和莱布尼茨在处理物理问题时，确实会把无穷小直接消去——反正它"太小了"，基于直觉扔掉就行。

这种做法粗暴有效，但严谨的数学逻辑上站不住脚，也正是后来引发第一次数学危机的根源。

直到柯西建立了 $\varepsilon$-$\delta$ 语言，才在逻辑上严格定义了极限，彻底终结了这场争论。

但问题是——在那个时候数学家没有这套无穷小的工具。

既然不能直接把无穷小当作是0或者处理无穷小，必须另想办法！

绕过无穷小

让我们回到最开始——无穷小是怎么出现的？

因为我们让 $n$ 趋于无穷大，$\frac{1}{n}$ 自然就趋向于无穷小。 无穷小是无穷大的影子，只要我们还在处理 $n \to \infty$，它就如影随形。

那么办法也很自然：先不让 $n$ 跑到无穷大，把 $\infty$ 换成任意大的有限数 $N$。 $n$ 是具体的数，$\frac{1}{n}$ 也是具体的数，无穷小的幽灵暂时消失了。

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) + \text{（余项）} $$

当 $n \geq 2$ 时，每个因子满足 $0 < \left(1-\frac{j}{n}\right) < 1$，所以连乘部分小于 $1$，从而：

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} $$

而部分和小于无穷级数的全和，因此：

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n < \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} $$

等比级数迷思

关于右边的级数 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$，我们需要继续分析。

在现代，我们知道等比级数在 $|r| < 1$ 时必定收敛，求和公式为：

$$ \sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r} $$

但推导这个公式时，有限项的情形是干净的：

$$ \sum_{k=0}^{N} ar^k = \frac{a(1-r^{N+1})}{1-r} $$

令 $N \to \infty$，$r^{N+1}$ 趋向无穷小——我们又遇到了同样的无穷小困境，无法严格处理。

一种严谨的办法是反证法：

假设极限 $L$ 存在但小于 $\frac{a}{1-r}$，可以推出矛盾； 假设 $L$ 大于 $\frac{a}{1-r}$，同样矛盾。所以 $L$ 只能等于 $\frac{a}{1-r}$。

全程没有直接操作无穷小，逻辑是严谨的。

级数比较

通过放缩法，将 $\frac{1}{k!}$ 与等比级数 $\frac{1}{2^{k-1}}$ 进行比较：

$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots $$

$$ \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}, \quad k \geq 1 $$

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2 $$

在左边补上 $k=0$ 的项（即 $\frac{1}{0!} = 1$）：

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \leq 1 + 2 = 3 $$

又因为 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 是单调递增的，当 $n=1$ 时取得最小值：

$$ \left(1+\frac{1}{1}\right)^1 = 2 $$

所以对所有 $n \geq 1$，都有 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq 2$，从而 $e > 2$。

找到了

最后我们得到了这样一串不等式链，找到了e的上下界，为17世纪的我们鼓掌！

$$ 2 < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} < 1+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 3 $$

回到现代数学

根据柯西对无穷级数的严格定义，无穷级数的值被定义为部分和的极限：

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} $$

这正是我们一直在回避的极限——但现在有了严格的 $\varepsilon$-$\delta$ 语言，可以放心使用。

再结合单调有界定理，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 单调递增有上界，极限存在，记为 $e$。最终得到：

$$ 2 < e = \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} < 3 $$

绕了一大圈，我们没有动用任何"无穷小直接消去"的把戏，严谨地走完了整个证明。